Любому думающему человеку хочется верить, что он может «спроектировать» свою жизнь, если правильно оценит свои возможности и существующие реалии. Хотя народная мудрость гласит: «Человек предполагает, а господь располагает». Так вот, не так давно, в середине XX века, появилась математическая теория – «теория хаоса», которая эту мудрость подтвердила. Разумеется, без какого-либо апеллирования к господу. Точное ее название – «возникновение хаоса в полностью детерминированных системах».

Что значит это мудреное название

Что такое хаос все интуитивно представляют. Нечто совершенно неупорядоченное, случайным и непредсказуемым образом себя ведущее. А что такое В«полностью детерминированные системы?

Представим себе пешехода, который вышел из своего дома и пошел по прямой дороге. Он все время идет с постоянной скоростью. Какое расстояние он пройдет за определенное время? Ответ на этот вопрос знают даже ученики младших классов школы. Надо скорость умножить на заданное время.

Наш пешеход представляет собой пример полностью детерминированной системы. Если мы знаем его начальное положение (дом) и закон его движения (постоянная, известная скорость), то мы можем вычислить его местоположение в любой момент времени. Если знание законов эволюционирования любой самой сложной системы и ее начальное состояние позволяют однозначно определить результат ее эволюции в любой момент времени, то такая система и называется В«полностью детерминированнойВ».

А существуют ли детерминированные системы в реальности

Да. И более того, они повсеместно окружают нас. Самый наглядный пример, движущиеся вокруг Солнца планеты, расположение которых на своих орбитах в каждый момент времени строго определено и не меняется тысячелетиями.

Казалось бы, само определение детерминированности полностью противоречит понятию хаоса и они несовместимы.

Оказывается, очень даже совместимы.

Но прежде чем перейти к дальнейшему разговору о хаосе, надо сделать одно замечание. Представим себе человека, стреляющего по мишени. Иногда он попадает в десятку, иногда в девятку, а иногда и вообще в молоко. И мы не можем предсказать результат его следующего выстрела. Значит ли это, что система В«стрелок – пуляВ» является недетерминированной? Нет, не значит. Все дело в том, что мы не знаем всех деталей поведения этой системы. Качество пороха в патронах может слегка различаться, у стрелка рука может дрогнуть и так далее.

И так происходит в подавляющем большинстве случаев при моделировании различных природных явлений или при проведении инженерных расчетов. Так что движение планет вокруг Солнца, подчиняющихся только закону всемирного тяготения является одним из немногих исключений. Так есть ли в природе хаос? Или все дело в нашем неполном знании механизмов изучаемых процессов и явлений?

Да, хаос есть. И один пример хаотичности всем хорошо известен. Это турбулентность.

Турбулентность

Это слово, наверно, слышали все. Хотя бы по стандартной фразе: В«пристегните ремни, самолет входит в зону турбулентностиВ». Это значит, что сейчас вас начнет трясти и качать.

Изучать турбулентность в конце XIX века начал английский физик Рейнольдс. Проведя серию экспериментов, он установил, что течение обычной воды в обычной круглой трубе может быть устроено совершенно по-разному.

Если скорость течения воды невелика, то она (вода) движется однородно и плавно (такой режим течения называется ламинарным). А если скорость превышает некоторое критическое значение, то начинают происходить странные вещи. Слои воды перемешиваются, образуются вихри, основные параметры течения – скорость и давление в каждой точке пульсируют совершенно непредсказуемым образом. И вся эта картина меняется в каждый момент времени. И никаких закономерностей в этих изменениях нет. В общем, какой-то полный хаос. Вот этот режим течения и был назван турбулентным.

За прошедшие со времен Рейнольдса сто с лишним лет, во всем мире было опубликовано сотни тысяч, если не миллионы работ, посвященные турбулентности. Потому что без понимания ее природы невозможно исследовать атмосферные процессы (метеопрогнозы), проводить математическое моделирование конструкций новых самолетов, проектировать двигатели и много, много еще чего. Прогресс достигнут огромный. Суперкомпьютеры тут сильно помогли. Ну и совершенствование экспериментальной базы.

Основная проблема

Здесь надо сделать небольшое отступление, необходимое для понимания дальнейшего. Основная проблема здесь вот в чем состоит. В турбулентных течениях существуют не только крупномасштабные вихри (вы их можете наблюдать, сидя на берегу горной реки), но целая иерархия таких вихрей, вплоть до самых мелких. Кинетическая энергия потока сосредоточена в самых крупных вихрях, она передается вниз по иерархии и на самых мелких вихрях превращается в тепло за счет вязкости среды – воды или воздуха (есть в физике такое понятие – вязкость). Чем меньше вязкость, тем меньше масштаб этих малых вихрей. Поэтому при проведении компьютерных расчетов, например, аэродинамики самолета, вы должны иметь возможность использовать очень маленькие расчетные ячейки, описывающие эти маленькие вихри. Иначе ничего не получится. А самолет большой. Поэтому число ячеек растет немерено. И с таким объемом вычислений ни один самый современный суперкомпьютер справиться не может. Придумали, конечно, как с этим злом худо-бедно можно бороться, но это для нас не важно.

Но уважаемые читатели. Запомните этот каскад разномасштабных вихрей. В дальнейшем мы увидим крайне интересные и неожиданные вещи из разных сфер жизни, имеющие прямые аналоги с описанной выше ситуацией.

Откуда берется турбулентность

Этот вопрос стоял еще со времен Рейнольдса. Вначале ответ был один. Это неустойчивость. Неустойчивость – одно из базовых понятий современной математики и физики. В научно-популярной литературе объясняют его обычно так. Представьте себе чашку в виде полусферы. На дне ее лежит шарик. Если вы его слегка толкнете, то он быстро вернется в исходное положение – на дно чашки. Это устойчивое положение равновесия. А теперь давайте перевернем чашку и положим шарик на ее вершину. Если вы хотя бы слегка его толкнете, он свалится вниз. Это неустойчивое положение равновесия.

Так и здесь. Говорили, что при определенных условиях (увеличение скорости, например), течение теряет устойчивость и скатывается к турбулентному режиму. А почему оно его теряет? И как это все происходит?

До появления компьютеров ответа на эти вопросы не было. Уравнения Навье-Стокса, описывающие течения жидкости или газа, были слишком сложны, чтобы можно было решать их В«рукамиВ». Потом, когда появились достаточно мощные компьютеры, пошел вал работ, в которых пытались моделировать вот эти неустойчивые процессы, проистекающие из-за случайных малых возмущений, которые есть всегда. Что-то получалось (хорошее согласие с экспериментом), что-то совсем нет (численные результаты на 100% противоречили экспериментальным данным). Хотя все делалось одними и теми же методами. Но все равно никто не понимал, каков механизм перехода от ламинарного режима к турбулентному. А потом, кажется, поняли.

Но сейчас мы отвлечемся от физики и обратимся к биологии. Тогда все понятней будет.

Биология. Численность популяций

Биологи уже давно изучали изменения численности популяций тех или иных видов животных, проживающих на определенной территории. Факторов, влияющих на изменение численности популяции, было множество. Это и изменение кормовой базы и экологических условий, рост или уменьшение популяции хищников, изменение параметров рождаемости и смертности, миграция на другие территории и много всего другого. Но все эти исследования сводились к сбору В«полевойВ» информации и попыткам связать полученные факты с перечисленными выше причинами.

Математические модели изменения численности популяции существовали достаточно давно. Вспомним хотя бы уравнения Вольтера. Но их практическое применение было более чем ограничено. По указанной выше причине – отсутствия достоверных данных о параметрах, входящих в эти уравнения. Поэтому они и мало чего объясняли.

А потом случилось вот что. Математики предложили очень простую модель изменения численности популяции. Которая изо всех влияющих на это дело причин, учитывало только две – рождаемость и смертность. Причем самым примитивным, хотя и разумным образом. В ней было всего одно алгебраическое уравнение, которое описывало изменение численности от поколения к поколению. Школьнику доступно. Так вот, если скорость рождаемости была невелика, то через нескольких поколений численность популяции становилась постоянной. То есть, наступал баланс между смертностью и рождаемостью.

Если скорость рождаемости повышалась, то численность популяции менялась по-другому, а именно, периодически, с периодом в два поколения. Сначала 7 условных единиц, потом 10, потом опять 7 и так далее.

При дальнейшем повышении скорости рождаемости, периодичность оставалась. Но период равнялся уже четырем поколениям. Сначала 7, потом 5, потом 6, потом опять 7.

И чем больше рос коэффициент скорости рождаемости, тем увеличивался период изменения численности популяции. Причем, всегда, вдвое: 8, 16, 32 поколения. И так далее.

А при определенном (конечном и разумном) значении этого коэффициента, численность популяции менялось совершенно непредсказуемым и случайным образом. Наступал хаос.

Описанная выше ситуация была давно известно в математике и называлось В«бифуркацией удвоения периодаВ». Но это была так – В«высокая наукаВ», понятная только специалистам. А тут, на тебе. Каждый школьник, имеющий хотя бы калькулятор, во всем этом мог убедиться.

Но что особенно интересно. Основной, существующей на сегодняшний день математической теорией возникновения турбулентности, является вся та же В«бифуркацией удвоения периодаВ». Там, конечно, все намного сложнее. Но принцип тот же.

Это, конечно, совершенно изумительный факт, подчеркивающий универсальность устройства нашего мира, но и это еще не все.

Гуманитарные дисциплины

Если мы рассмотрим экономику какой-либо страны в целом (макроэкономику), то здесь все понятно. Существует обоснованный и опробованный набор критериев, выполнение которых должно эту экономику поддерживать и развивать. Регулирование уровня инфляции, ставки рефинансирования. Плюс налоговая система, инвестиционный климат и далее по списку, который вы все прекрасно знаете.

Так вот, правительство страны может принимать самые мудрые решения. А происходить ничего не будет. Потому как решения правительства – это, возвращаясь к турбулентности, те самые большие вихри. Но! Их энергия должна передаваться вниз по тому самому каскаду. Крупнейшие компании, средний и малый бизнес, В«простые людиВ». И если они, решения государства, эффективно воспринимают, то и В«кинетическая энергияВ» верхов вот туда вниз доходит. И тогда она, возвращаясь к турбулентности, превращается в тепло, которое и греет страну. А если нет, то все бесполезно.

То же самое относится и к политике. Ведь еще товарищ Ленин писал: В«Идея, овладевшая массами, становится материальной силойВ». Сейчас, в век интернета и социальных сетей, эта фраза становится особенно актуальной. Вспомните недавние революции в арабском мире северной Африке. Как там все происходило? Как формировались сторонники переворотов? Через соцсети. А что это значит? Сначала двое. Потом четверо. А потом все – хаос. Не напоминает ли вам все это про предыдущий раздел этого текста о биологии и теорию В«бифуркацией удвоения периодаВ», приводящую к хаосу.

Как возникает хаос

Так почему же хаос возникает в детерминируемых системах? Все дело в той самой неустойчивости, о которой мы говорили выше. Если система неустойчива, то малейшие изменения в ее начальном состоянии (в случае политики – В«брожение умовВ» отдельных личностей) могут приводить к совершенно непредсказуемым последствиям. Появились несколько человек, активно протестующих против существующей политической системы. Казалось бы, что они могут. Да, ничего. Если система устойчива. А если нет, то получите революцию с непредсказуемыми последствиями. Хаос, однако.

Заключение

Все написанное – это только малая часть теории хаоса. Мы ничего не говорили о так называемых динамических системах и возникающих в них В«странных аттракторахВ». О теории фракталов и о том, как фракталы наблюдаются в природе. В одну статью все поместить нельзя.

И, наконец. Теория хаоса не может предсказывать, что будет в будущем. Хаос, он на то и хаос, что непредсказуем. Но объяснить, что происходит в нашем мире здесь и сейчас, что может произойти, теория хаоса позволяет.

Вот такая абстрактная математика и ее реализация в жизни. А еще говорят, зачем эта математика нужна. Для чего-то калькуляторы и компьютеры важнее. А чего-то они просто так не могут сделать. Без математических теорий.

Подробнее читайте на kapital-rus.ru ...